FTIRを理解するための数学的知識(7)積分の公式を憶えよう①

コラム

久しぶりの数学の更新です。 本来これがいちばん書きたい内容なのですが、商品の紹介が本業ですのでどうしても他のページを優先しなければなりません。さて私が数学の勉強の中で好きなのは積分です。微分にある解の範囲を図示したりするような細部に気を使う問題は解いて楽しさを感じませんが、積分の導き方を勉強すると数学の醍醐味を味わえるような気がするからです。いくつか公式があるので覚えていきましょう。

三角関数関連 複素積分関連 微分方程式で頻出する積分

三角関数関連

まず基本的な3つの公式を憶えましょう。

1.

[計算]

2.

[計算]

1.2はルート内の1-X2乗の1の部分がa2乗になっている場合があります。この場合はaをルートの外に出して

X/aをそれぞれsint,tantとおきますので、結果の部分がsin-1(x/a)およびtan-1(x/a)に変わります。

3.

[計算]

これを正攻法で攻めようとしても大変です。

実はコロンブスの卵でなんてことはなく、与式=-log|cosx|+C となります。

暗算でも微分できてしまいますよね。これは丸暗記してしまいましょう。

4.

[計算]

1.と似ていますが順番が異なります。どう解けばよいでしょうか?

この問題を三角関数的に解いていこうとすると大変なことになります。

4.で説明を後回しにしましたが、sinx,cosxの積分ではtan(x/2)=tとおくとうまく解ける場合が多いです。

なぜなら...

また...

となり、分母の1+t2乗がで消せるからです。

ということで例を挙げてみましょう

5.

以下のような問題も解けます

6.

[計算]

7.

[計算]

問題7 江川 博康 著「大学生の微積分」東京図書より引用

※ 複素積分・微分方程式の解き方で面白かった解き方については追って更新します。

FTIRを理解するための数学的知識
[ツール] 常用対数表
log_tables_ver1.xls
Microsoft Excel 38.0 KB

(7)積分の公式を憶えよう①

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