FT-IRを理解する背景知識(5) ─ ネイピア数、指数関数の導関数の導出、オイラーの公式の導出

KDI会社ロゴ

蛍光X線(EDX)分析装置	FTIRを理解するための数学的知識(2) ━　 eってどんな数? ～ネイピア数e、指数関数の導関数の導出、オイラーの公式の導出 [自然対数の底e(ネイピア数)] 自然指数関数(以降単に指数関数と言います)はそれ自身の導関数と等しくなるため、微分・積分においては欠かせない存在です。またフーリエ変換の解説でも頻出するオイラーの公式という超重要な定理もネイピア数が元になっています。ネイピアというのは対数の発明者の名前です。 [参照ジョン・ネイピア(Wikipediaより)] 本項では上式(1)の導出法について見て行きます。 [ネイピア数の定義] まずネイピア数の定義ですが、となっています。ここでの二項展開の式にa=1 , b=1/nを代入するととなりn→∞の極限をとるとという値に収束します。 [指数関数の導関数の導出] 次に(1)の導出ですが、最後に出てきますのでネイピア数の定義式を覚えておいて下さい。まず一般的な指数関数y = の導関数について考えます。 Xの値をdxだけ増やすと、となりますがここでdx = hと置きかえると... と書けます。が収束し(証明は割愛させていただきます)、その値をkとおくと dy/dx = Kとなり、「ある」指数関数の導関数は元の関数に比例することがわかります。ここで「k=1となるbを選べば使い勝手がよくなる」と考えて... と、であればよいのでここでn = 1/hとおくと、上の式はとなり、定義式よりbはeであることがわかります。以上、完全な導出は「対数関数から始め極限値が収束するかを確認し、」と長くなりますが、指数関数の導関数はとなることの概略が示されました。 [オイラーの公式の導出] オイラーの公式の導出には(1)の関係とテーラー級数展開を使います。テーラー級数展開とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言います。上の式はf(x)の「x=aのまわり」のテイラー級数展開と言います。またx=0の時を特別にマクローリン級数展開と言います。と実にシンプルな級数で表示されます。さて、オイラーは大胆にもこの式のxにixを代入したのだそうです。すると上の式はとなりますが、オイラーはさらにこの式の実数項と虚数項を別々にまとめなおしました。ここではcosxのマクローリン級数展開、はsinxのマクローリン級数展開となっており、かくしてオイラーはであることを導いたのです。ただし、「当時指数関数が複素数にも拡張できるかわからず、また和に影響を与えずにいつでも項の順序を変えられる有限和と違い無限級数で同じことをすると和が変わってしまうという可能性もありました。あるいは収束級数が発散級数に変わってしまうリスクもありましたが、当時はゆっくりと議論で遊ぶ余裕があったのです。とにもかくにもオイラーの公式はその正当性について厳格な試験にも耐えるものでありました。」(以上引用　岩波書店刊「不思議な数eの物語」E・オマール著、伊理由美訳) さて、オイラーの公式から指数関数も周期性をもつことがわかります。FT-IRのソフトウェアで行われている高速フーリエ変換ではこの指数性と周期性を巧みに利用して離散フーリエ変換における膨大な数の複素数演算を飛躍的に短縮させています。数学関連よみもの [ツール]対数表 (1)対数の理解～対数って以外と便利 (2)eってどんな数? ～ネイピア数、指数関数の導関数の導出、オイラーの公式の導出 (3)フーリエ係数の導出 (4)複素形式のフーリエ級数 (5)フーリエ変換および逆フーリエ変換 (6)フーリエ変換の赤外分光法への適用 (7)積分の公式を憶えよう① (8)統計処理①正規分布表その他のよみもの
携帯型蛍光X線分析装置 SKYRAY Genius 3000 XRF 2011年11月新発売! EDX Pocket IIIの後継機。軽元素も測定できるようになりました。据付型蛍光X線分析装置 SKYRAY 1800B
FTIRガス分析装置
抽出法による排ガス測定 MIDAC Iシリーズオープンパスガス測定 MIDAC AMシリーズ
FTIR用前処理装置
ﾏｲｸﾛｻﾝﾌﾟﾘﾝｸﾞﾏｼﾝマイクロサポート Axis Pro FT-IR用熱分解ﾊﾟｲﾛﾌﾟﾛｰﾌﾞ CDS ブリルセル
ガイガー・ミュラー管放射線測定器
MiniTrace CSDF 検出できる線種:α・β・γ・X線表示単位: Sv,CPS,Bq,Bq/cm2,Bq/L キャンペーン価格 240,000円(消費税、送料別)
熱分解・加熱脱離装置
低価格熱分解装置 CDS モデル4000 キャンペーン価格 190万円(消費税、据付費用別) 高圧・触媒リアクター加熱脱離ﾁｭｰﾌﾟ付熱分解装置 CDS モデル5200HP-R パージアンドトラップ装置 CDS8000 & ｵｰﾄｻﾝﾌﾟﾗｰ
TDLAS近赤外ﾚｰｻﾞｰ吸収ガス分析装置
野外でも簡単測定 Boreal Laser GasFinder2
ﾃｰﾌﾟ式ガス分析装置
プロセスガスも分析可 C.I. ﾃｰﾌﾟ式ガス分析装置

ケイディーアイ株式会社	[HOME]　　[サイトマップ]
〒105-0014　東京都港区芝3-3-14　ニットクビル1F TEL 03-6400-4081(代表)　/ FAX 03-6400-4082 Copyright (C) 2005-2011 KDI Co. Ltd. All Rights Reserved.